Dwaastoo, ik denk dat ik ontdekt heb waar het gisteren is fout gegaan. Vanwege de opzet van het probleem heeft de presentator niet de keus maar slechts de verplichting om een bepaalde deur te openen wanneer de kandidaat in het begin een deur kiest waarachter niks zit. Immers de presentator kan in geen geval de deur met de prijs erachter openen. Daardoor is de kans verbonden aan de verschillende mogelijkheden vreemd genoeg niet gelijk (waar wij wel vanuit gingen).
Ter illustratie: wanneer de kandidaat deur A kiest is de kans dat de prijs daarachter zit 1/3. De presentator kan vervolgens deur B of C openen, toch? Nee, dat kan alleen indien de prijs ook echt achter deur A zit. Als de prijs achter deur B zit wordt de presentator verplicht deur C openen en als de prijs achter deur C zit wordt de presentator verplicht deur B te openen. Met andere woorden de keus is dan geforceerd. Daaruit volgen de onderstaande vier mogelijkheden en bijbehorende kansen:
1: De prijs zit achter deur A en de presentator opent deur B: 1/6 kans
2: De prijs zit achter deur A en de presentator opent deur C: 1/6 kans
3: De prijs zit achter deur B en de presentator opent deur C: 1/3 kans (er is geen andere keus)
4: De prijs zit achter deur C en de presentator opent deur B: 1/3 kans (er is geen andere keus)
Of indien de kandidaat deur B kiest:
1: De prijs zit achter deur B en de presentator opent deur A: 1/6 kans
2: De prijs zit achter deur B en de presentator opent deur C: 1/6 kans
3: De prijs zit achter deur A en de presentator opent deur C: 1/3 kans (er is geen andere keus)
4: De prijs zit achter deur C en de presentator opent deur A: 1/3 kans (er is geen andere keus)
Nu kunnen we heel eenvoudig observeren dat indien de kandidaat wisselt (mogelijkheid 3 en 4) de kans op winst 2/3 is en vasthouden (mogelijkheid 1 en 2) in totaal een winkans van 1/3 oplevert.
Dus door de voorkennis van de presentator moet je vasthouden aan de kansen die aan het begin van belang zijn. In de meeste gevallen kiest de presentator namelijk bewust en NIET willekeurig. Er is dan geen sprake van een nieuwe situatie, de prijs is nog altijd achter één van de drie deuren gestopt en niet achter één van de twee deuren. Het kiezen tussen twee deuren moet niet gezien worden als een opzichzelfstaand feit maar als een conditionele kans. De implicaties hiervan worden duidelijk wanneer je het oorspronkelijke raadsel van drie naar honderd deuren uitbreidt. De kandidaat kiest één deur, de presentator opent vervolgens 98 deuren en geeft daarna de kandidaat de gelegenheid om van deur te wisselen. De winkans wordt 99/100 indien de kandidaat wisselt en blijft 1/100 als er halsstarrig wordt vastgehouden aan de eerste keuze. Waarom? Omdat de ‘voorkennis’ van de presentator de kansen verplaatst. De kandidaat is op de hoogte van deze voorkennis en kan zijn strategie er op aanpassen.
Concluderend: de kansen veranderen niet nadat er één deur is geopend omdat er geen sprake is van volledige willekeur maar van een voorwaardelijke kans.
